55二次方程式には，いくつかの解法があり，これらの配列についてはいくつかのパターンが考えられます。この教科書では，前後の内容のつながりに配慮して，平方根の考えにもとづく解法➡解の公式による解法➡因数分解による解法 の順に解法を配置しています。●前章とのつながりを重視した解法からスタート「2章 平方根」からのつながりに配慮し，平方根の考えにもとづく解法を一番はじめに置いています。二次方程式では解が複数ある方程式を初めて学びますが，平方根の考えにもとづく解法からスタートすることで，二次方程式には一般に解が2つあることも自然に受け入れられるようになります。また，平方根の考えにもとづく解法から，解の公式による解法を，スムーズに導入することができます。●因数分解による解法の指導位置についての配慮因数分解による解法のもとになる「AB=0ならば，A=0またはB=0」という内容は，生徒にとって理解の難しいことがらです。解が2つある場合などについて十分理解した後に学習することで，因数分解を使った解法も，自然に理解させることができます。また，因数分解による解法の指導の直後に，その活用場面を多く含む二次方程式の利用の節へつながる流れは，よく使う因数分解による解法の習熟にも有効です。●解法を自分で選択する力を育成このように，二次方程式には様々な解法がありますが，問題に応じて最適な解法を判断していく必要があります。そこで，全ての解法を学んだ後，それぞれの解法の特徴を考える場面を設け，問題に応じて解法を選択する力を身につけられるようにしています。前後のつながりに配慮した二次方程式の解法の配列・3章 二次方程式平方根の考えにもとづく解法解の公式による解法因数分解による解法40平方根12乗するとaになる数について学びましょう。2乗すると16になる数をいいましょう。◯2＝16ひろげよう2乗して16になるのは，正の数では4，負の数では-4です。 42＝16（－4）2＝16になるね2乗するとaになる数を，aの 平へい方ほう根こん といいます。つまり，aの平方根は，x2=aを成り立たせるxの値のことです。16の平方根は，4と-4です。36の平方根は，6と-649の平方根は，23と-230.25の平方根は，0.5と-0.5 6－636平方根2乗いろいろな数の平方根例1問1 次の数の平方根をいいなさい。⑴ 25 ⑵ 1 ⑶ 81 ⑷ 49⑸ 916 ⑹ 14 ⑺ 0.36 ⑻ 0.09正の数aの平方根は，正の数と負の数の2つあって， それらの絶対値は等しくなります。x2=0となる数xは0だけだから，0の平方根は0です。また，どんな数も2乗して負の数になることはないので， 負の数の平方根は考えません。（正の数）2＝正の数（負の数）2＝正の数510152069二次方程式3章二次方程式を解くために，平方根の意味にもとづいて，x2＝kの形にすることができないかと 考えた。二次方程式を，平方根の意味にもとづいて解くことを考えましょう。ax2=bの解き方ある数xを2乗し，それを3倍すると18になりました。ある数xを求めるには，どうすればよいでしょうか。ひろげよう3x2=18のようなax2=bの形の二次方程式は， x2=kの形に変形して解くことができます。 x2＝k x＝± k2乗してkになる数ax2＝b例1⑴ 3x2=18 x2=6 x=± 6⑵ 2x2=50 x2=25 x=±5注意 x=± 6は， 6と- 6が，ともに二次方程式3x2=18の 解であることを表しています。問2 次の二次方程式を解きなさい。⑴ 2x2=18 ⑵ 5x2=35 ⑶ 7x2=70ax2－b＝0例2⑴ 3x2-24=0 3x2=24 x2=8 x=± 8 x=±2 2⑵ 4x2-3=0 4x2=3 x2=34 x=± 34 x=± 32問3 次の二次方程式を解きなさい。⑴ 2x2-36=0 ⑵ 5x2-60=0 ⑶ 9x2-2=0p.220 1510152072平方根の意味にもとづいて，二次方程式ax2＋bx＋c＝0の解を求める過程を，係数が 具体的な数の二次方程式の解を求める過程と関連づけて考えた。二次方程式の解の公式2解の公式を知り，それを使って二次方程式を解きましょう。二次方程式ax2+bx+c=0は，両辺をaでわると， x2の係数が1となり，前ページの手順で解くことができます。このことを，3x2+5x+1=0について確かめましょう。 3x2+5x+1=0両辺をx2の係数でわると， x2+53x+13=0数の項を移項して， x2+53x=-13xの係数の半分の2乗を両辺にたすと，x2+53x+(56)2=-13+(56)2左辺を平方の形にして， (x+56)2=-13+2536 (x+56)2=25-1236よって， x+56=± 136 x=-56± 136 =-5± 136 ax2+bx+c=0 x2+bax+ca=0 x2+bax=-cax2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2 (x+b2a)2=-ca+b24a2 (x+b2a)2=b2-4ac4a2 x+b2a=± b2-4ac2a x=-b2a± b2-4ac2a =-b± b2-4ac2a上で調べたことから，次のことがいえます。二次方程式の係数に着目すると， 解を求めることができるんだね二次方程式ax2+bx+c=0の解は，x=-b± b2-4ac2a二次方程式の解の公式5101520二次方程式と因数分解3因数分解を使って二次方程式を解きましょう。二次方程式（x＋3）（x－5）＝0では，どうすればこの式から 解を見つけることができるでしょうか。ひろげよう2つの数や式について，次のことがいえます。このことを使って，上ののような二次方程式を解くことができます。A*B=0 ならば， A=0 または B=0(x+3)(x-5)=0では，x+3とx-5をかけて0に なるから，x+3=0 または x-5=0x+3=0 のとき x=-3，x-5=0 のとき x=5よって， x=-3，5（x＋3）（x－5）＝0x＋3＝0 または x－5＝0解が2つ 見つかったね（x＋a）（x＋b）＝0例1問1 次の二次方程式を解きなさい。⑴ (x-2)(x+5)=0 ⑵ (x+4)(x+2)=0二次方程式ax2+bx+c=0は，その左辺ax2+bx+cを 因数分解することができれば，例1と同じようにして， 解くことができます。5101520二次方程式3章まとめよう次の二次方程式を解いていたかりんさんは， それぞれの解き方について，気づいたことや考えたことを 次のようにまとめました。みなさんも気づいたことや 考えたことをまとめてみましょう。⑴ (x+3)2=16 ⑵ x2-2x-3=0⑶ x2-4x=21 ⑷ 3x2-27=0⑸ x2+12x+12=0 ⑹ 4x2+4x+1=0いろいろな 解き方が あったね〈いろいろな二次方程式を解いて，気づいたことや考えたこと〉⑴ （x＋3）2＝16 x＋3＝±4 x＋3＝4のときx＝1， x＋3＝－4のときx＝－7 よって，x＝1，－7⑵ x2－2x－3＝0 （x＋1）（x－3）＝0 x＋1＝0またはx－3＝0 よって，x＝－1，3⑶ x2－4x＝212式が(x＋m)2＝nの形をしているときは， 左辺を展開しないで，平方根の意味に もとづいて，解を求めようと思いました。因数分解を使って解を求めました。二次方程式を解くときに，一次方程式を 利用することが，とてもおもしろいなと 思いました。まずは，右辺の21を移項して， 25101575二次方程式と因数分解3因数分解を使って二次方程式を解きましょう。二次方程式（x＋3）（x－5）＝0では，どうすればこの式から 解を見つけることができるでしょうか。ひろげよう x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0x-2=0 または x-3=0よって， x=2，3x2＋（a＋b）x＋ab＝0例22つの数や式について，次のことがいえます。このことを使って，上ののような二次方程式を解くことができます。A*B=0 ならば， A=0 または B=0(x+3)(x-5)=0では，x+3とx-5をかけて0に なるから，x+3=0 または x-5=0x+3=0 のとき x=-3，x-5=0 のとき x=5よって， x=-3，5（x＋3）（x－5）＝0x＋3＝0 または x－5＝0解が2つ 見つかったね（x＋a）（x＋b）＝0例1問1 次の二次方程式を解きなさい。⑴ (x-2)(x+5)=0 ⑵ (x+4)(x+2)=0二次方程式ax2+bx+c=0は，その左辺ax2+bx+cを 因数分解することができれば，例1と同じようにして， 解くことができます。5101520252章 平方根3章 二次方程式●3年 みんなで学ぼう編 p.40●3年 みんなで学ぼう編 p.69●3年 みんなで学ぼう編 p.72●3年 みんなで学ぼう編 p.75●3年 みんなで学ぼう編 p.78学年別の特色3年
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